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Lesezeit: 5 min Lizenz BY-NC-SA Um eine beliebige Wurzel aus einer komplexen Zahl zu ziehen, wird auf die Darstellung komplexer Zahlen in der Eulerschen Form zurück gegriffen. Wurzeln eines Rechners für komplexe Zahlen - eMathHelp. Wenn: \( \underline z = \left| {\underline z} \right| \cdot {e^{i \cdot \left( {\phi + m \cdot 2\pi} \right)}}; \quad m \in Z \) Gl. 47 Dann ist \sqrt[n]{ {\underline z}} = \sqrt[n]{ {\left| {\underline z} \right|}} \cdot \sqrt[n]{ { {e^{i \cdot (\phi + m \cdot 2\pi)}}}} = \sqrt[n]{ {\left| {\underline z} \right|}} \cdot {e^{i \cdot \frac{ {\left( {\phi + m \cdot 2\pi} \right)}}{n}}} = \sqrt[n]{ {\left| {\underline z} \right|}} \cdot {e^{i \cdot \left( {\frac{\phi}{n} + 2\pi \cdot \frac{m}{n}} \right)}} Gl. 48 Potenzieren und Radizieren: Unter Anwendung von Gl. 39 gilt für beliebige Exponenten n∈ℝ {\left( {\underline z} \right)^n} = {\left( {x + iy} \right)^n} = {\left| {\underline z} \right|^n} \cdot {e^{i \cdot n \cdot \phi}} = {\left| {\underline z} \right|^n} \cdot \left( {\cos \left( {n \cdot \phi} \right) + i \cdot \sin \left( {n \cdot \phi} \right)} \right) Gl.

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Wurzelziehen bei komplexen Zahlen (in Polarkoordinaten) \( \def\, {\kern. 2em} \let\phi\varphi \def\I{\mathrm{i}} \def\NN{\mathbb{N}} \def\ZZ{\mathbb{Z}} \) Man multipliziert komplexe Zahlen, indem man ihre Beträge multipliziert und ihre Argumente addiert: Für \(\color{red}{z} = r\, (\cos(\phi)+\I\sin(\phi))\) und \(w = s\, (\cos(\psi)+\I\sin(\psi))\) gilt w z = s\, (\cos(\psi)+\I\sin(\psi))\, r\, (\cos(\phi)+\I\sin(\phi)) = sr\, (\cos(\psi+\phi)+\I\sin(\psi+\phi)) \).

Aber das wußten wir schon vorher. Nicht wahr? 01. 2009, 12:01 Das ich wissen wollte wo mein Fehler lag liegt nicht daran, dass ich immer den komplizierten weg gehen will. Ich wollte halt nur wissen, was ich falsch geacht habe. Geht das mit allen komplexen Zahlen? 01. 2009, 14:34 Wenn die Quadratwurzel zu bestimmen ist, ja. 01. 2009, 15:15 Und wie leitet sich diese Formel her? Den linken Teil von der ersten Formel verstehe ich noch. Aber wieso ist das ganze gleich dem Realteil? Die 2. Verstehe ich gar nicht. 01. Wurzel einer komplexen Zahl. 2009, 15:54 Wenn du quadrierst, ist der Realteil der entstehenden komplexen Zahl und deren Imaginärteil. Oder? Und nun vergleichen wir diese komponentenweise mit denen der gegebenen Quadratzahl. 01. 2009, 16:17 ok. danke jetzt hab ich verstanden, was du meinst. Danke! Da fragt man sich wieso in der Vorlesung immer der extrem kompliziertere Weg gegangen wurde. 01. 2009, 16:26 Und wenn du das einmal allgemein rechnest, kommst du auf die folgende Formel. 01. 2009, 16:28 Ok gibt es eigentlich auch einen Weg schnell zu Potenzieren, außer wieder über die trigeometrische Form?

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Und schwuppdiwupp...! 30. 2009, 03:08 Es geht auch direkt, denn das System lässt sich ganz "normal" lösen: quadr. Gleichung nach lösen: da a nur reell sein kann, folgt a = 4 oder a = -4, -> b 30. 2009, 09:49 Mystic Tatsächlich gibt es für diese Aufgabe noch eine interessante "zahlentheoretisch angehauchte" Alternative, wenn man den begründeten Verdacht hat, dass "schöne" Lösungen existieren könnten (was ja bei Schulaufgaben häufig der Fall ist! )... Man muss dazu nur sehen, dass für die Zahlen 15 und 8 die Kathetenlängen für ein rechtwinkeliges Dreieck mit ganzzahligen Seitenlängen sind... Genauer gilt Jetzt muss man nur noch die komplexen Zahlen mit ganzahligen bestimmen, sodass gilt Dafür gibt's in der algorithmischen Zahlentheorie einen Algorithmus, aber den braucht man hier wohl noch nicht... Unter diesen Zahlen befinden sich dann u. a. Wurzel aus komplexer zahl ziehen. auch die Wurzeln von, wobei man zu deren genauen Bestimmung einfach die weiteren Gleichungen noch dazunehmen sollte... PS. Liebe Grüße an mYthos aus dem "hohen Norden"... Anzeige 30.

Also sind x und y von. gleiches Zeichen. Daher gilt x = \(\frac{1}{√2}\) und y = \(\frac{1}{√2}\) oder x. = -\(\frac{1}{√2}\) und y = -\(\frac{1}{√2}\) Daher ist √i = ±(\(\frac{1}{√2}\) + \(\frac{1}{√2}\)i) = ±\(\frac{1}{√2}\)(1. + ich) 11. und 12. Klasse Mathe Von der Wurzel einer komplexen Zahl zur STARTSEITE Haben Sie nicht gefunden, wonach Sie gesucht haben? Oder möchten Sie mehr wissen. Über Nur Mathe Mathe. Wurzel aus komplexer zahl und. Verwenden Sie diese Google-Suche, um zu finden, was Sie brauchen.

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Man muss hier ein bisschen aufpassen. Für zwei komplexe Zahlen z und w gilt im Allgemeinen nicht deshalb ist der Lösungsweg von Fleischesser4 zwar in der Gleichheit (eher zufällig) richtig, aber in der Idee nicht. Denn der Beweis, warum die Gleichheit gilt, ist im Wesentlichen wieder die ursprüngliche Fragestellung selbst (denn mit Multiplikativität ist das nicht zu begründen) und damit höchstens ein Zirkelsschluss. Üblicherweise transformiert man eine komplexe Zahl zum Wurzelziehen erst in die Polardarstellung. In kartesischen Koordinaten ist Wurzelziehen zwar prinzipiell möglich, aber unelegant und aufwendig. In der Polardarstellung erhält man bzw. - und hier liegt der Hase im Pfeffer - es gilt sogar weil die komplexe Exponentialfunktion 2πi-periodisch ist. Wurzel aus komplexer zahl berlin. Nun entspricht Wurzelziehen genau dem Potenzieren mit 1/2, d. h. und hier kommt das Problem auf, denn es gibt nicht nur eine Lösung, sondern für jedes k eine. Ganz so schlimm ist es dann aber doch nicht, denn alle geraden k ergeben jeweils dieselbe Lösung und alle ungeraden k ebenso.

Es gibt also nur zwei mögliche Wurzeln - aber die sind verschiedene komplexe Zahlen. Rechnet man die beiden Zahlen explizit aus, erhält man und überlegt man sich, dass ist, kommt man zu den Lösungen die beide quadriert -32 ergeben. Links die Lösung auf dem Hauptzweig, rechts auf dem Nebenzweig der Wurzelfunktion. Man kann sich zwar grundsätzlich merken, dass für natürliche Zahlen n auf dem Hauptzweig gilt, begibt sich aber schnell auf gefährliches Terrain, wenn man versucht, das aus der angeblichen Multiplikativität der Wurzelfunktion herzuleiten - eigentlich sogar noch schlimmer als gefährliches Terrain: Das Ergebnis stimmt dann, die Begründung ist aber falsch und demnach auch der Beweis. [Im Reellen hat man keine Wurzel-Zweige, weil man für die reelle Wurzel frech einfach fordert und damit zum Beispiel -2 eben per Definition keine reelle Wurzel von 4 ist, obwohl sie ebenfalls quadriert 4 ergibt. Das funktioniert, weil es immer höchstens zwei Zahlen gibt, die als Lösung in Frage kommen und sich nur im Vorzeichen unterscheiden.