Produkt Und Kettenregel Aufgaben Pdf
Produkt-, Quotienten- und Kettenregel - YouTube
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Produkt- und Kettenregel Definition Um manche komplexere Funktionen abzuleiten, muss man die Produktregel und die Kettenregel zusammen anwenden. Beispiel Die Funktion $f(x) = \frac{1}{x} \cdot sin(4x)$ soll abgeleitet werden. $\frac{1}{x}$ kann man auch als $x^{-1}$ schreiben: $$f(x) = x^{-1} \cdot sin(4x)$$ Das ist zum einen ein Produkt mit den beiden Faktoren x -1 und sin(4x). Zum anderen ist das eine verkettete Funktion, da die Sinus-Funktion die 4x "verarbeitet". Es sind deshalb die Produkt- und Kettenregel gleichzeitig anzuwenden. Nach der Produktregel sind 2 Teile zu berechnen und aufzuaddieren: 1. Teil: 1. Ableitung des ersten Faktors des Produkts mal 2. Faktor: $$-x^{-2} \cdot sin(4x)$$ Dabei ist -x -2 die 1. Ableitung von x -1 (vgl. Potenzfunktion ableiten). Analysis: Produkt-, Quotienten- und Kettenregel – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher. 2. Faktor mal 1. Ableitung des zweiten Faktors: $$x^{-1} \cdot cos (4x) \cdot 4$$ Hier muss die Kettenregel angewandt werden: cos(x) ist die Ableitung der äußeren Funktion sin(x), anschließend wird die innere Funktion 4x nachdifferenziert, das ergibt 4.
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Rechenbeispiele zur Produktregel Beispielaufgabe 1: Die Funktion, die wir nun ableiten, lautet: 1. Schritt: Zuerst leiten wir die Funktionen g(x) und h(x) links und rechts vom Malzeichen ab: 2. Schritt: Jetzt setzen wir diese Funktionen in die Formel zur Produktregel ein und erhalten: Der Term wurde mit Hilfe der Potenzgesetze zusammengefasst. Hinweis: Dieser Term könnte auch schon vor dem Ableiten mit Hilfe der Potenzgesetze vereinfacht werden Beispielaufgabe 2: Die nächste Funktion, die wir mithilfe der Produktregel differenzieren wollen, lautet: 1. Schritt: Zuerst leiten wir wieder die Funktionen g(x) und h(x) links und rechts vom Malzeichen ab: 2. Schritt: Jetzt setzen wir diese Funktionen in unsere Formel zur Produktregel ein und erhalten: Alternative: Du kannst auch die Produktfunktion auflösen und dann die Summenregel anwenden. Produkt und kettenregel mathe. Meistens wird sich aber aufgrund der Komplexität des Funktionsterms für die Produktregel entschieden. So kannst du dein Ergebnis auch überprüfen. Kombination von Produktregel und Kettenregel Beispielaufgabe 4 Folgende Funktion wollen wir mithilfe der Produkt- und Kettenregel ableiten: 1.
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Diese Problematik ist jetzt im Zusammenhang der Ableitungsregeln ganz neu und eine Gelegenheit, mit heuristischen Methoden (Bildungsplan: überfachliche Kompetenzbereiche) zu arbeiten. ( altgr. Heurísko; ich finde; heuriskein; (auf-)finden, entdecken) bezeichnet die Kunst, mit begrenztem Wissen und wenig Zeit zu guten Lösungen zu kommen. ) Natürlich ist es auch möglich die entsprechenden Vermutungen zur Regel aus einer anwendungsbezogenen Situation herzuleiten. Produkt und kettenregel formel. An dieser Stelle wird aber innermathematisch gearbeitet, um eine möglichst eigenständige Schülertätigkeit mit dem Fokus auf das Aufstellen der Vermutung zu richten. Zur l noch genauere Ausführungen und eine Diskussion von Alternativen: Der Schüler denkt: Ist doch klar, dass (f·g)´= f´·g´ gilt. Das muss im Untericht zuerst thematisiert werden; hier handelt es sich auch um eine wichtige Denktechnik. Dazu braucht man zwei Funktionen, die man einzeln und als Produkt ableiten kann (z. B. x 2 und x 3; oder man nimmt den GTR). Heuristischen Methoden sind unter anderem: geeignete Beispiele Veranschaulichung gezielte Suche: Gab es schon mal ähnliches?
a) Schreibe es um als e^(2x-1)*x^(-1) dann ist die Ableitung f ' (x) = -x^(-2)* e^(2x-1) + x^(-1)*2* e^(2x-1) = ( -x^(-2) + 2x^(-1))* e^(2x-1) b) f ' (x) = 1*e^(√x) + x* e^(√x) * 1/ ( 2√x) = e^(√x) * (1+ x/ ( 2√x)) = e^(√x) * (1+ √x/ 2)