Schnittgerade Zweier Ebenen Parameterform

Schnittgerade zweier Ebenen in Parameterform bestimmen | Schnitte - YouTube

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Schnittgerade von 2 Ebenen mit Parameter | Mathelounge
Schnittgerade bei Ebenen, Version Koordinaten-/Parameterform, Teil 1 | Mathe by Daniel Jung - YouTube

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Schnittgerade Von 2 Ebenen Mit Parameter | Mathelounge

Einsetzen in eine der Ebenengleichungen liefert dann eine Geradengleichung. Die Rechnung ist ziemlich aufwändig, deshalb wird hier auf ein Beispiel verzichtet. 2. ) Beide Ebenen in Koordinatenform gegeben: Beide Koordinatengleichungen ergeben zusammen ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und 3 Variablen. Schnittgerade Vektorrechnung Video » mathehilfe24. Falls das Gleichungssytem Lösungen besitzt, schneiden sich die Ebenen in einer Schnittgerade; falls nicht, sind sie parallel. Beispiel: E: x 1 - 2x 2 + x 3 = 3 E *: 2x 1 - 4x 2 + 2x 3 = 5 Multipliziert man die erste Gleichung mit - 2 und addiert sie zur zweiten Gleichung, so erhält man als Ergebnis 0 = - 1 (falsche Aussage). Die beiden Ebenen sind folglich parallel. 3. ) Eine Ebene in Koordinatenform, eine in Parameterform gegeben: Die Koordinaten der Ebene in Parameterform werden einzeln mithilfe der Parameter ausgedrückt und in die Koordinatengleichung der anderen Ebene eingesetzt. Auch hier gilt: Falls die sich ergebende Gleichung keine Lösung besitzt, sind die Ebenen parallel, andernfalls gibt es eine Schnittgerade.

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Wir wandeln uns die zweite Ebene auch in eine Koordinatenform um [-1, 0, 2] X [1, 1, -1] = [-2, 1, -1] x * [-2, 1, -1] = [-1, 2, 1] * [-2, 1, -1] -2x + y - z = 3 Nun suchen wir die Schnittgerade mit 2x - 3y + z = 4 Die Schnittgerade verläuft orthogonal zu beiden Normalenvektoren der Ebenen. Daher bilde ich hier das Kreuzprodukt. [-2, 1, -1] X [2, -3, 1] = [-2, 0, 4] = 2 * [-1, 0, 2] Nun brauche ich noch einen Punkt der Geraden. Den erhalte ich wenn ich in beiden Ebenengleichungen z = 0 setze und das entstehende LGS löse. -2x + y = 3 2x - 3y = 4 Lösung ist hier x = -3, 25 und y = -3, 5 Also lautet eine Geradengleichung z:B. g: x = [-3. 25, -3. Schnittgerade von 2 Ebenen mit Parameter | Mathelounge. 5, 0] + r * [-1, 0, 2] Eine Parameterdarstellung der Ebene E1 erhalten wir wenn wir uns 3 Koorninaten ausdenken, die in der Ebene liegen. Dazu setze ich paarweise xy, xz und yz auf Null. Ich erhalte die Punkte: 2x - 3y + z = 4 [2, 0, 0], [0, -4/3, 0], [0, 0, 4] Nun stelle ich eine Parameterform über diese drei Punkte auf E: x = [2, 0, 0] + r * [-2, -4/3, 0] + s * [-2, 0, 4]

Für die gegenseitige Lage zweier Ebenen E und E * gibt es drei Möglichkeiten. 1. ) Die beiden Ebenen sind identisch, d. h. sie haben unendlich viele Punkte gemeinsam. 2. ) Die beiden Ebenen schneiden sich in einer Schnittgerade, auch hier haben sie unendlich viele Punkte gemeinsam. 3. ) Die beiden Ebenen sind parallel, d. sie haben keine Punkte gemeinsam. Der Einfachheit halber soll im Folgenden der erste (wenig interessante) Fall ausgeschlossen sein, d. es werden zwei verschiedene Ebenen betrachtet. Die verbleibenden Möglichkeiten lassen sich durch Einsetzen / Gleichsetzen der beiden Ebenengleichungen unterscheiden: 1. ) Beide Ebenen in Parameterform gegeben: Gleichsetzen der Ebenengleichungen liefert ein lineares Gleichungssystem mit 4 unbekannten Parametern und drei Gleichungen. Schnittgerade zweier ebenen parameterform. Falls sich beim Auflösen eine falsche Aussage ergibt, so hat das Gleichungssystem keine Lösung, d. die Ebenen sind parallel. Falls sich das Gleichungssystem lösen läßt, kann man einen Parameter frei wählen und die anderen Parameter durch diesen ausdrücken.